好轻松考研 考研数学资讯 22考研数学:n阶常系数非齐次线性微分方程的解法

22考研数学:n阶常系数非齐次线性微分方程的解法

常微分方程在很多学科领域有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题。同时,常微分方程也是考研数学必考的内容,大小题目都会有,下面一起来看下常系数非齐次线性微分方程的解法。

形如:

   ①

的方程,称为n阶非齐次线性微分方程.
(1)非齐次线性微分方程解的性质设 都是方程①的解,则 是其对应齐次方程的解.
(2)非齐次线性微分方程的通解结构设 是非齐次线性微分方程①的一个特解, 是其对应的齐次方程的通解,则 是方程①的通解.
(3)非齐次线性微分方程解的叠加原理设方程①的右端自由项 ,而 是方程(k=1,2,…,n)的解,则 是方程①的解.

(4)常系数非齐次线性微分方程的解法设非齐次线性微分方程中所有系数都是常数,即方程有如下形式  ②

其中,…,为常数,我们称②为 n 阶常系数非齐次线性微分方程. 求其通解的步骤如下:
1. 先求其对应常系数齐次线性微分方程的通解Y;
2. 求方程②的一特解
3. 写出方程②的通解 .
下面介绍方程②的特解的求法.
若方程②右端的自由项 其中为实常数,那么方程②有形如 的特解,其中 k 为特征方程的特征根 的重数(单根相当于,当不是特征根时,取),而,…,是待定常数,可以通过比较系数来确定.若方程②右端的自由项 ,其中 为常数,而是带实系数的 x 的多项式,其中一个的次数为 m,而另一个的次数不超过 m,那么方程②有形如 的特解,其中 k 为特征方程的特征根的重数,而均为待定的带实系数次数不高于 m 的 x 的多项式,可以通过比较系数的方法来确定.
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